군의 작용

• 임의의 $a,b\in G$, $x\in X$에 대해, $\left(ab\right)\cdot x=a\cdot\left(b \cdot x\right)$
• 임의의 $x\in X$에 대해, $1\cdot x=x$[1]

• 직교군 $G=\text{O}\left(n\right)$은 $R^{n}-\left\{0\right\}$에 대해, $A\cdot v:=Av$로 작용한다.
• 이면군(dihedral group)$D_{2n}=\left<r,f\mid r^{n}=f^{2}=1,rfrf=1\right>$은 $Z/nZ$에, $r\cdot a=a+1$, $f\cdot a=-a$로 작용한다.
• 군 $G$는 자기 자신에게 작용한다.
  • (translation) $a\cdot b=ab$
  • (conjugation) $a\cdot b=aba^{-1}$
• 군 $G$와 $H<G$에 대해, $H$는 $G/H$에게, $a\cdot \left(xH\right)=\left(ax\right)H$로 작용한다.
• K-벡터공간의 스칼라곱은 스칼라체 K에서 그 벡터공간으로 작용한다.

• (궤도(orbit))$x\in X$에 대해, $Gx:=\left\{ gx:g\in G\right\}$
• (안정화 부분군(stabilizer subgroup))$x\in X$에 대해, $G_{x}:=\left\{ g\in G:gx=x\right\}$[2]
• $X^{G}:=\left\{ x\in X:\forall g\in G\qquad gx=x\right\}$
• $X/G:=\left\{ Gx:x\in X\right\}$[3]

• $\left[G:G_{x}\right]=\left|Gx\right|$
• (Burnside lemma) $\left|X/G\right|=\frac{1}{\left|G\right|}\sum\left|X^{g}\right|$
• (class equation) $\left|G\right|=\left|Z\left(G\right)\right|+\sum\left[G:C_{G}\left(x\right)\right]$[4]
• 소수 $p$에 대해,
  • $G$가 $p$-군($\left|G\right|=p^{k}$)이면, $\left|X\right|\equiv\left|X^{G}\right|\left(p\right)$이다.
  • $H<G$가 $p$-부분군($\left|H\right|=p^{k}$)이면, $\left|G/H\right|\equiv\left|N_{G}\left(H\right)/H\right|\left(p\right)$이다.[5]
• (Cauchy) $p\mid \left|G\right|$이면, $a\in G$가 존재하여, $\left|a\right|=p$이다.

• 실로우 정리
• $G$가 $p$-군일 때, $G$가 자명군이 아니라면 $Z\left(G\right)$의 크기는 p의 배수이다. 따라서 $Z\left(G\right)=1$이면 $G=1$이다.
• $H<G$에 대해, $\left[G:H\right]$가 $\left|G\right|$의 가장 작은 소인수일 때, $H\vartriangleleft G$이다.